高邮教育oa办公系统、高邮教育oa办公

图形存在问题在各地中考中屡见不鲜.这类问题常常以图形的变化或图形上点的运动为主线，要求我们判断和说明符合某一结论的现象是否存在.解答这类问题，可首先假设这种现象存在，再考虑利用化“动”为“静”的策略，构造方程关系式或函数关系式，进行判断和说明.下面举例说明如何利用模型法破解等腰三角形存在性问题。

“两圆一线”模型：

在平面直角坐标系中遇到等腰三角形的相关问题后，通常是以顶点作为分类标准，这样就可以构造辅助圆来解决问题。比如下图中，确定一点M，使三角形ABM为等腰三角形，处理方法如下：当以点A为顶点时，M点的轨迹就是以点A为圆心，AB长为半径的圆，然后根据约束条件来求解；当以点B为顶点时，M点的轨迹就是以点B为圆心，AB长为半径的圆上，然后根据约束条件来求解；当以点M为顶点时，点M的轨迹就在线段AB的垂直平分线上，然后根据约束条件来求解。

如：已知：定点A(2，1),B(6，4)和动点M（m，0）,可通过“两圆一线”模型确定存在等腰三角形ABM。

类型1 等腰三角形的计数问题（难点）

例1（2018秋•沙洋县期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为（2，2），为轴上一点，且使得△为等腰三角形，则满足条件的点的个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】借助“两圆一线”模型分析，分别以、为圆心，以长为半径作圆，与轴交点即为所求点，再作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点，作出图形，利用数形结合求解即可．

【解答】如图，满足条件的点的个数为4．故选：．

【点评】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

变式1（2017秋•高邮市月考）在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴上，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．2或4

【分析】借助“两圆一线”模型分析，分为三种情况：①＝，②＝，③＝，分别画出即可．

【解答】当与轴正半轴夹角不等于60°时，以为圆心，以为半径画弧交轴于

点和′，此时三角形是等腰三角形，即有2个满足条件的点；

以为圆心，以为半径画弧交轴于点″（除外），此时三角形是等腰三角形，即有1个满足条件的点；作的垂直平分线交轴于一点，则＝，此时三角形是等腰三角形，即有2个满足条件的点；2+1+1＝4，当与轴正半轴夹角等于60°的时候，图中的，'和'会重合，是一个点，加上原来的负半轴的点，总共2个点，故选：．

变式2（2018秋•泰兴市期中）如图，∠＝45°，点，在边上，＝3，＝7，点是直线上的点，要使点，，构成等腰三角形的点有个．

【分析】借助“两圆一线”模型分析，先求出点、到在的距离，再根据等腰三角形的判定逐个画出即可．

【解答】过作′⊥于′，过作′⊥于′，

∵＝3，＝7，∠＝45°，∴＝4，′＝×sin45°＝3√2/2＜4，

′＝×sin45°＝7√2/2＞4，＝′′＝4×sin45°＝2√2＜4，

所以只有一小两种情况：①以为圆心，以4为半径画弧，交直线于、，此时△和△都是等腰三角形；

②作线段的垂直平分线，交直线于，此时△是等腰三角形，

即有3个点符合，故答案为：3．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，能求出符合的所有情况是解此题的关键．

类型2 涉及等腰三角形的判定的探究问题(热点)

例2（2018秋•江阴市期中）已知：如图1：射线MN⊥AB于点M，点C从M出发，以1cm/s的速度沿射线MN运动，AM＝1，MB＝4，设运动时间为ts，

（1）当△ABC为等腰三角形时，求t的值；

（2）当△ABC为直角三角形时，求t的值；

（3）点C在运动的过程中，若△ABC为钝角三角形，则t的取值范围是．

【分析】（1）借助“两圆一线”模型分析探究动点C的位置，分CB＝AB、AB＝AC和AC＝BC三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可；

（2）根据勾股定理列式计算；

（3）由②的结论结合图形解答即可；

【解答】（1）当CB＝AB时，

在Rt△MCB，BC＝5，BM＝4，由勾股定理得：MC＝3，则t＝3s；

当AB＝AC时，在Rt△MCA，AM＝1，AC＝5，

由勾股定理得：MC＝2√6，则t＝2√6s；

当AC＝BC时，C在AB的垂直平分线上，与条件不合；

∴当t＝3s或2√6s时，△ABC为等腰三角形；

（2）∵由题意∠ACB＝90°时，∴AC+BC＝AB，

设CM＝x，在Rt△MCB中由勾股定理得：BC＝x+4，

在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC＝x+1，

∴x+4+x+1＝5，解得x＝2，∴t＝2s；

（3）∵当t＝2时，△ABC为直角三角形，

∴0＜t＜2时，△ABC为钝角三角形；

故答案为：0＜t＜2；

【点评】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

类型3 函数背景下涉及等腰三角形的判定的探究问题(热点)

例3（2018秋•慈利县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点（0，2），且与反比例函数＝8/x在第一象限内的图象交于点，作⊥轴于点，＝2．

（1）求直线的函数解析式；

（2）设点是轴上的点，若△的面积等于6，直接写出点的坐标；

（3）设点是轴上的点，且△为等腰三角形，求点的坐标．

【分析】（1）由⊥轴，＝2，即可求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；

（2）由点是轴上的点，若△的面积等于6，可求得的长，继而求得点的坐标．；

（3）借助“两圆一线”模型分析探究动点M的位置，分类讨论：以为底和以为腰两种情况来解答．

【解答】（1）∵⊥轴，＝2，∴点的横坐标为2，

将＝2代入＝8/x，得＝4，∴（2，4），

设直线的函数解析式为＝+（≠0），

将点（0，2）、（2，4）代入＝+得b=2,2k+b=4，∴k=1,b=2，

∴直线的函数解析式为＝+2；

（2）∵点是轴上的点，若△的面积等于6，（2，4），

即＝1/2×2＝6，∴＝6，

∵（0，2），∴（0，8）或（0，﹣4）．

（3）∵（2，4），（0，2），∴＝2√2．

①当＝时，点是线段垂直平分线上的点，此时（0，6）；

②当＝＝2√2时，′（0，2+2√2），或″（0，2﹣2√2）．

③当＝时，（0，4）．

综上所述，满足条件的点的坐标是（0，6）或（0，2+2√2）或（0，2﹣2√2）或（0，4）．

【点评】此题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求一次函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

练习1.（2018秋•易门县期中）如图，抛物线＝+3+经过（﹣1，0），（4，0）两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点在第一象限的抛物线上，且点的横坐标为，过点向轴作垂线交直线于点，设线段的长为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值；

（3）在轴上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点坐标；如果不存在，请说明理由．

【练习1答案及提示】（1）y＝﹣x+3x+4；

抛物线y＝ax+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0），把A、B两点坐标代入上式，解得：a＝﹣1，c＝4，即可求解，

（2）当t＝2时，m的最大值为4

设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t+3t+4），Q（t，﹣t+4），则PQ＝﹣t+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t+4t，即可求解；m＝﹣t+4t＝﹣（t﹣2）+4（0＜t＜4）．

（3）存在．分EC＝BE、BC＝CE、BC＝BE分别求解即可．E（﹣4.0）或（4，0）或（0，0）或（4﹣4√2，0）或（4+2√2）．

满分技法: 等腰三角形的存在问题分解题策略

1. 假设结论成立；

2. 找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：

① 当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；

② 当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点.

3. 计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解。

真心真情真东西，讲究提供最新鲜最实用的考试素材，原创不易，期待你的关注点赞分享收藏等，相互促进，共同进步。