两个增长量倍数关系—两个增长量倍数关系是什么

1.你喜欢学习吗？有的同学不喜欢学习喜欢玩游戏，如：玩王者荣耀，赢一

场涨一颗星，立竿见影，而学习是一个成长的过程，需要一段时间的积累，从量

变到质变，见效慢，有的同学耐不住寂寞，因此不喜欢学习。

2.你会学习吗？别人听课你也听课，别人学习你也学习，但是没有别人学习

的效果好，因为学习方法不对，需要进行系统学习。

3.什么是系统性学习？预习→学习（理论知识）→练习→复习→总结，学习

的时候往往注重练习，却忽略复习和总结。

4.学习阶段：

（1）以老师方法为基础，学习并接受。

（2）认真、专注。

1.间隔增长率。后面 3个题型根据间隔增长率衍生的，核心为间隔增长率。

2.间隔倍数。

3.间隔基期。

4.间隔增长量。

5.弄清三个问题：

（1）识别：隔一年+求增长率。

①例：2020年志哥私房钱同比增长 10%，2019 年同比增长 5%。问：2020 年

比 2018 年增长百分之几？

答：增长+百分数，求增长率，r来表示，2020 年比 2018年，中间隔一年（2019

年），求间隔增长率。本题有 2020年、2019年、2018年三个年份，题中给出 2020

年比 2019 年的增长率 r1，2019 年比 2018 年的增长率 r2，求 2020 年比 2018 年

增长率。

②关键点 1：r1、r2怎么找？俗家记忆：离我们最接近的两年。

形式 1：直接给。

如：2020年志哥私房钱的同比增速为 10%，2019年同期增速为 5%。求：2020

年比 2018 年的增速。

答：本题有 2020 年、2019 年、2018 年，离我们最近的两年为 2020 年增长

率 r1和 2019年增长率 r2，或者 2018年、2017 年、2016年，离我们最近的两年

为 2018 年增长率 r1和 2017 年增长率 r2。本题直接给了 2020 年和 2019 年的增

长率。

形式 2：给百分点关系。

如：2020年志哥私房钱的同比增速为 10%，增速比上年上升 5个百分点。求：

2020年比 2018年的增速。

答：已知 2020 年增长率 r1=10%，给增速和上一年的关系，高减低加，上升

做减法，r2=10%-5%=5%。

（2）关键点 2：公式如何推导？

①公式：和+积，r1+r2+r1*r2。

②推导：假设 2018 年的量为 A，2019 年比 2018 年的增长率为 r2，则 2019

年的量=A*（1+r2），2020 年比 2019年的增长率为 r1，则 2020年的量=A*（1+r2）

*（1+r1），求增长率，r=现期/基期-1=[A*（1+r2）*（1+r1）]/A-1=1+r1+r2+r1*r2

-1=r1+r2+r1*r2。

（3）速算：关键点 3：公式如何速算？

①第一步，先算加和（分析选项是否是唯一值）。

15%+18%+15%*18%≈

A.35.7% B.30.9%

C.28.9% D.41.6%

答：15%+18%=33%，观察选项，33%+一个正数，结果大于 33%，排除 B、C项，

若 D项为 21.6%，则 D 项也可以排除。但本题确定不了唯一答案，需要分 2种情

况。

②第二步，再算乘积→若 r1、r2绝对值均小于 10%时，10%*10%=1%，间隔增

长率的选项大于 1%，则 r1*r2可忽略，如：5%+8%+5%*8%≈13%。不能忽略时，一

个不变，另一个百化分。如：28%+25%+28%*25%≈53%+28%*1/4=53%+7%=60%。

③练三练：

练习 1：18%+15%+18%*15%≈33%+1/5*15%=33%+3%=36%。18%看成 20%是有误

差的，计算乘积只需要计算整数部分，如 2.6%≈3%。

练习 2：-18%+5%+（-18%）*5%=-13%-18%*1/20≈-13%-1%=-14%。

练习 3：-18%+（-5%）+（-18%）*（-5%）≈-23%+1%=-22%。

④注意：乘积估算时，保留整数部分就行。

【知识点】做题思维：不要被题目外在的信息迷惑，抓住本质。

1.识别题型。

2.列式。

3.计算。

【例 1】（2019山东）虽然 2014～2016年间全国医疗卫生机构床位数增长速

度持续下滑，但 2016 年床位数仍然比 2014年增加了：

A.12.26% B.10.87%

C.13.21% D.9.69%

【解析】例 1.第一步先识别题型，增加+%，求增长率，问的是 2016年比 2014

年，隔一年，求增长率，间隔增长率，公式：和+积=r1+r2+r1*r2。代入数据，r 间

=6.3%+5.6%+6.3%*5.6%=11.9%+一个正数，6.3%*5.6%乘积可以忽略，结果≈11.9%，

找个最接近的，对应 A项。【选 A】

2015 年全年有 1838.4 万人次困难群众受益，同比增长 8.5%，增长率较上一

年下降 27.5个百分点。

【例 2】（2017联考）2015年受益的困难群众较 2013年增长约：

A.47.6% B.40.4%

C.34.5% D.27.6%

【解析】例 2.识别题型，增长+%，求增长率，问的是 2015 年比 2013 年，

隔一年，间隔增长率问题，和+积。r1=8.5%，r2=8.5%+27.5%（高减低加）=36%，

r 间=8.5%+36%+8.5%*36%=44.5%+一个正数＞44.5%。观察选项，排除 B、C、D项，

选择 A项。【选 A】

2014年1～5月，我国软件和信息技术服务业实现软件业务收入 13254亿元，

同比增长 20.9%，5月份完成收入 2968亿元，同比增长 20.6%，1～5月，软件业

实现出口 182亿美元，同比增长 14.8%，增速比去年同期高 4.7个百分点。

【例 3】（2015 北京）2014 年 1～5 月，软件业出口额比两年前增长的比例

在以下哪个范围之内？

A.低于 20% B.20%～30%之间

C.30%～40%之间 D.高于 40%

【解析】例 3.增长的比例，增长+%，求增长率，比两年前，隔了一年，间

隔 增 长 率 ， 和 + 积 。 r1=14.8% ， r2=14.8%-4.7%=10.1% ， r 间

=14.8%+10.1%+14.8%*10.1%=24.9%+一个正数＞24.9%。观察选项，排除 A 项，需

要计算乘积，14.8%*10.1%≈1%，再加上 1%，为 25.9%，对应 B项。【选 B】

【知识点】题型延伸：

1.间隔倍数=间隔 r+1。例：2017年比 2016 年增长 50%，推出 2017年是 2016

年的 1.5 倍，倍数=增长率+1。问间隔倍数，先求间隔增长率，再加 1。

2.间隔基期=现期/（1+间隔 r）。现期是 2018 年，基期是 2016 年，间隔基

期。

3.间隔增长量：假设现期 100，r=10%，求增长量（普通的增长量），10%=1/10，

增长量=100/（10+1）。间隔增长量也是如此。

（1）间隔|r|=1/n；（2）增长量=现期/（n+1），减少量=现期/（n-1）。

2013年 3月末，金融机构人民币各项贷款余额 65.76万亿元，同比增长 14.9%，

增速比上年同期低 0.8 个百分点。

【例 4】（2014河南）2013年 3月末，金融机构人民币各项贷款余额约是 2011

年同期的多少倍？

A.1.1 B.1.2

C.1.4 D.1.3

【解析】例 4.识别题型，是几倍，倍数问题，2013 年 3月末比 2011年同期，

隔一年，间隔倍数问题，间隔倍数=r 间+1。先求 r 间，r=14.9%+15.7%+14.9%*15.7%

≈30.6%+2%=32.6%，间隔倍数=1+32.6%=1.326，对应 D项。【选 D】

【注意】

1.简便方法：间隔倍数=r 间+1，把选项转化为 r 间+1 的形式，也就是间隔增

长率为 10%、20%、40%、30%。r 间=14.9%+15.7%+14.9%*15.7%=30.6%+2+%，结果

还是 30%多一点，对应 D项。

2.总结：求间隔倍数时，用间隔倍数-1，转化为间隔增长率，分析更直观。

2017 年上半年医药工业规模以上企业实现主营业务收入 15314.40亿元，同

比增长 12.39%，增速较上年同期提高 2.25个百分点。

【例 5】（2017 新疆）在医药工业规模以上企业实现主营业务收入上，2017

年上半年约是 2015年上半年的：

A.1.13 倍 B.0.13 倍

C.1.24 倍 D.0.24 倍

【解析】例 5.倍数问题，隔一年，间隔倍数问题。r1=12.39%，r2=12.39%-2.25%

≈10%，间隔增长率一定是个正数，把选项转化为 r 间，可以排除 B、D 项。剩余

选项分别为 13%、24%，两个数 r1和 r2相加已经为 20%多，不需要再计算，选择 C

项。【选 C】

2018 年第一季度我国水产品进出口 192.67 万吨，同比减少 7.27%，增速较

上年同期减少 21.97 个百分点；进出口总额 77.15 亿美元，同比增加 10.84%。

贸易顺差 19.66亿美元，同比减少 2.15亿美元。

【例 6】（2019甘肃）2016年第一季度我国水产品进出口总量最接近以下哪

个数字？

A.140 万吨 B.160 万吨

C.180 万吨 D.200 万吨

【解析】例 6.判断题型，隔一年求基期，间隔基期，先求间隔增长率，再

求基期。r1=-7.27%，r2=-7.27%+21.97%≈14.7%，r 间=-7.27%+14.7%+（-7.27%）

*（14.7%）≈7.4%-1%=6.4%。求基期，约为 193/（1+6.4%），看选项差距，选项

差距大，截两位，为 193/1.1，错位相减，为 193-19.3=173+，选个最接近的，

对应 C项。【选 C】

上半年，基本型乘用车（轿车）产、销量分别为 583.39万辆和 584.13 万辆，

同比增长 11.81%和 11.69%，增幅高于上年同期 5.79个百分点和 6.15个百分点；

运动型多用途乘用车（SUV）产、销量分别为 134.52 万辆和 132.98 万辆，同比

增长 41.64%和 41.56%，增幅高于上年同期 7.08 个百分点和 9.54 个百分点；多

功能乘用车（MPV）产、销量分别为 57.29万辆和 56.75万辆，同比均增长了 130%；

交叉型乘用车产、销量分别为 91.25 万辆和 92.65 万辆，同比下降 23.01%和

22.49%。

【例 7】（2014 政法干警）与 2011 年上半年相比，2013 年上半年基本型乘

用车产量约增加了多少万辆：

A.30 B.60

C.90 D.120

【解析】例 7.增加+单位，求增长量，隔一年，间隔增长量。先求间隔增长

率，r 间=1/n，增长量=现期/（n+1）。r1=11.81%≈11.8%，r2≈11.8%-5.8%=6%，r

间=11.8%+6%+11.8%*6%≈17.8%+1%=18.8%。若看成 20%，化为 1/5，增长量=583.39/

（5+1）=583.39/6，首位商 9，对应 C项。【选 C】

【注意】间隔增长补充：

1.间隔两年：

（1）求 2020年比 2017年的增长率，中间隔了两年（2019年和 2018 年）。

给的条件是已知 2019年比 2017年的增长率 r2和 2020年比 2019年的增长率 r1，

求 2020 年比 2017年的增长率，也可以用公式 r=r1+r2+r1*r2。

（2）求 2020年比 2017年的增长率，条件给的是三年的增长率，即已知 2020

年比 2019 年的增长率 r1，2019年比 2018年的增长率 r2，2018年比 2017 年的增

长率 r3，这种情况存在，但是很少，一般不考。假设 2017 年的量为 A，则 2018

年为 A*（1+r3），2019 年为 A*（1+r3）*（1+r2），2020年为 A*（1+r3）*（1+r2）

*（1+r1），因此 2020年比 2017年的增长率为[A*（1+r3）*（1+r2）*（1+r1）]/A-1=

（1+r1）*（1+r2）*（1+r3）-1。以此类推，如果是已知四年的增长率，再乘以

（1+r4）。

2.间隔增长逆运用。正常求间隔增长率的情况是已知两个"眉毛"（r1 和

r2），求"嘴"（间隔增长率），也可能已知"嘴"（间隔增长率）和一根"眉

毛"（r1），求另一根眉毛（r2）。

【拓展 1】2017 年 1～2 月，全国造船完工 936 万载重吨，同比增长 123%；

承接新船订单 221 万载重吨，同比增长 133%。2 月末，手持船舶订单 9207 万载

重吨，同比下降 22.6%，比 2016年末下降 7.6%。

（2018 国考）2016 年末全国手持船舶订单较同年 2月末：

A.降低 16.2% B.降低 2.2%

C.增加 16.2% D.增加 2.2%

【解析】拓展 1.求 2016 年末比同年 2 月末的增长率，已知 2017 年 2 月末

比 2016 年 2 月末的增长率，以及 2017 年 2 月末比 2016 年末的增长率，正常做

可以先求出基期，2016年 2月末为 9207/（1-22.6%），2016年末为 9207/（1-7.6%），

再求两者之间的增长率，这么做相当麻烦。罗列时间，有三个时间点，有 2017

年 2月、2016年末、2016 年 2月，已知 2017年 2 月比 2016年末的增长率和 2017

年 2 月比 2016 年 2 月的增长率，求 2016 年末比 2016 年 2 月的增长率，是间隔

增长率的逆运用。列式：-7.6%+r2+（-7.6%）*r2=-22.6%，观察大小，r2 肯定是

一个负数，排除 C、D 项。代入 B项，-7.6%+（-2.2%）+（-7.6%）*（-2.2%）≠

-22.6%，排除 B项，对应 A项。【选 A】

【注意】间隔增长率：

1.识别：隔一年求增长率，也可以识别为已知两个"眉毛"，求一张"嘴"。

2.公式：和加积，r=r1+r2+r1*r2。

3.速算：

（1）先计算 r1+r2，观察选项，判断是否能确定唯一值。若不能确定唯一值，

再计算 r1*r2。

（2）方法：当 r1和 r2的绝对值都小于 10%时，忽略 r1*r2。若不能忽略，则

一个增长率不变，一个增长率百化分，算出乘积的整数部分即可。

4.间隔倍数：先求间隔增长率，再加 1。一般是逆运用，先把选项都减 1转

化为增长率，再分析。

5.间隔基期：先求间隔增长率，再求基期。

6.间隔增量：先求间隔增长率，再求间隔增量=现期/（n+1）。

【注意】练习：

1.8.6%+4.7%=13.3%，原式＞13.3%，排除 A 项，8.6%、4.7%都没到 10%，

8.6%*4.7%可忽略，最接近的是 B项。

2.34.6%+14.2%=48.8%，原式＞48.8%，排除 A、B、C项，对应 D项。如果算

r1*r2，34.6%*14.2%≈35%*1/7=5%，48.8%+5%=53.8%，最接近的是 D项。

3.-12.1%+24.2%=12.1%，原式=12.1%-12.1%*24.2%＜12.1%，排除 C、D 项。

12.1%-1%=11.1%，12.1%*24.2%＞10%*10%=1%，原式比 11.1%还要小，对应 A项。

4.-37%+（-11.3%）=-48.3%，原式=-48.3%+一个正数＞-48.3%，排除 D 项。

（-37%）*（-11.3%）≈4%，-48.3%+4%≈-44%，对应 C项。

5.67.2%+75.4%=142.6%，142.6%+67.2%*75.4%＞142.6%，四个选项都符合。

6.7%≈1/15，67%=6.7%*10≈1/15*10=1/1.5，67.2%*75.4%≈1/1.5*75%≈50%，

142.6%+50%=192.6%，最接近的是 C项。

【练习 1】2018年,我国全社会用电量 68449 亿千瓦时，同比增长 8.5%，增

幅同比提高 1.9 个百分点。具体来看,第一产业用电量 728 亿千瓦时，同比增长

9.8%；第二产业电量 47235 亿千瓦时，同比增长 7.2%；第三产业用电量 10801

亿千瓦时，同比增长12.7%；城乡居民生活用电量 9685亿千瓦时，同比增长 10.4%。

（2019 广东）2018 年，我国全社会用电量较 2016年增加了约：

A.13.7% B.15.7%

C.17.9% D.19.9%

【解析】练习 1.判断题型，2018年和 2016 年之间隔着 2017年，求增长率，

则判断求间隔增长率， r1=8.5%，"增幅同比提高 1.9 个百分点"，则

r2=8.5%-1.9%=6.6%，r=r1+r2+r1*r2=8.5%+6.6%+r1*r2，r1*r2 忽略，最接近的是 B

项。【选 B】

【练习 2】2014 年，金融业增加值增速较快，比第三产业增加值增速 8.1%

快 2.1个百分点。电子商务全国网上零售额增长赢得最佳绩，比全社会消费品零

售总额增速 12.0%快 37.7 个百分点，并拉动快递业务量较上年增长 61.6%之后再

创 51.9%的高增速。

（2015 江苏）2014 年我国的快递业务量约是 2012年的：

A.1.8 倍 B.2.1 倍

C.2.5 倍 D.3.3 倍

【解析】练习 2.判断题型，2014 年和 2012 年之间间隔 2013 年，求倍数，

是求间隔倍数，先把选项都减 1，四个选项减 1后分别是 80%、110%、150%、230%。

"拉动快递业务量较上年增长 61.6%之后再创 51.9%的高增速"，已知两个增长

率，相当于给了 r1和 r2，即 61.6%和 51.9%。举例理解："运动会继上一年取得

第三名之后，又取得了第二名的好成绩"，说明上一年是第三，今年是第二。本

题也是这么理解， 61.6%是去年的增长率， 51.9%是今年的增长率，

r=r1+r2+r1*r2=61.6%+51.9%+61.6%*51.9%≈110%+r1*r2＞110%，排除 A、B 项，

61.6%*51.9%不到 100%，间隔增长率到不了 230%，排除 D项。【选 C】

【注意】课后思考三个问题：

1.如果付出就有回报，你愿意付出吗？

2.如果别人和你现在一样，而你却在不断进步，你会不会比他更优秀？

3.如果有人成功，那会是你吗？

4.一定有人会成功，那为什么不能是我呢！

【答案汇总】1-5：AABDC；6-7：CC